試解exponential

時常聽到投資界的人說"這隻股票的盈利很可能有exponential既growth", "以後這間公司的店舖數量會exponential咁上",究竟這樣說是否正確, exponential function又應該是怎樣?

exponential在數學上為了方便表達是以e代表, 從基本的limit寫起就是

那就顯示了當n逐大時所得的exp(x)會有很明顯的增速.

利率的複式計算就是exponential function的其中一例.

exponential function之所以這樣神奇, 原因是當n還小時他的正回報增長大. 以不斷增加的基數去乘一個固定的增長率, 必然的後果是這個function的數字會變得異常巨大. exp(x)也會隨n->無限而趨向無限.

以exponential function去形容公司的增長有兩件事要注意. 第一是這個增長是建基於盈利的滾存. 如果roe只有5%那這個滾存一定不會快. 就算今次業績公佈你見到他的盈利增長3.5倍, 但公司又派高息又有很大的開支在科研上, 那你說這公司的增長是exponential我第一個不相信.

第二個是時間性. 如果exponential的增長力只可以在規模還是的時候用得上. 公司一大要再有爆放式的增長基本上是沒有可能的. 如果是投資控股公司可能還有一點好處(因為你有十萬投資和一千萬投資你的方針策略不會有大分別, 但要做十萬元生意和一千萬元你就要有成本效益, 增加機器人力等考慮). 從warren buffett的投資記錄中也印證到這個規模上的constraint- berkshire hathaway後來實在太大, 有潛力的公司對他們然而太小所以窒礙了他們的earnings growth.

	Berkshire 平均年回報 (%)	S&P平均年回報 (%)
1965-1974	15.06	2.8
1975-1984	30.94	15.52
1985-1994	25.38	15
1995-2004	19.96	14.01
2005-2008	6.55	-2.7

很慶幸我的財富水平還在可以有exponential return的階段呢! (其實我沒有選擇)